You're right that the といて here is a colloquial contraction of ておいて. 例文だからといって, といって, といっても, と書いてある, と答えてください だからといって, といって, といっても, と書いてある, と答えてください
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In other words, ~ とく is a casual version of ~ ておく where basically て + お is merged into と.
Listen to the pronunciation, view english meanings, stroke order diagrams and conjugations for といて (toite).
「～～ておいて！ 」 is actually a pretty common phrase for giving a complaint or blaming someone.
